Предлагаемые решения рассматриваемого вопроса, как правило, неоправданно сильно нагружают базу.
Здесь предлагается принципиально иное решение - легкое и необременительное для сервера.

Предлагается способ вывода названия (основной) категории товара со ссылкой на категорию в следующих местах:

1. Список товаров бренда,
2. Список результатов поиска,
3. Три списка товаров на главной - новинки, рекомендуемые, акционные,
4. Список связанных на странице товара.

В меню категорий открывать только те категории, которые входят в текущий путь категорий. Иначе (если к странице прямо не относится ни одна категория) - только категории 1 уровня.

В админке для выделеных товаров добавлено действие "ДОБАВИТЬ В КАТЕГОРИЮ", выполняющееся подобно "ПЕРЕМЕСТИТЬ В КАТЕГОРИЮ".

Создана возможность вставлять мегаменю в основной шаблон сайта.
В горизонтальную линию выводятся названия категорий 1 уровня, при наведении на которые появляется список подкатегорий 2-го и 3-го уровней. Вид категорий 2-го и 3-го уровней устанавливается отдельными стилями.
Сам список категорий 2-го и 3-го уровней выводится в несколько колонок. Число элементов в колонке можно устанавливать в шаблоне.

Доработка исправляет некоторые ошибки редактирования свойств.

На странице результатов поиска вместо полного дерева категорий выводятся только те категории, в которых есть найденные товары (и их надкатегории).

Категория товаров реализована как меню-аккордеон. У каждой категории добавлен маленький значок, при клике на который разворачивается/сворачивается дерево подкатегорий. Изначально показываются категории первого уровня.